A ARTE DE FAZER MATEMATICA
Este blog tem por objetivo: contribuir para o aperfeiçoamento da autonomia do professor na sua prática pedagógica, colaborando para a melhoria do processo ensino-aprendizagem dos alunos na área de Matemática.
domingo, 5 de agosto de 2012
quarta-feira, 18 de julho de 2012
domingo, 29 de maio de 2011
Fórmula de Bhaskara
Resolva equações de 2º grau
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral:
ax2 + bx + c = 0
Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
# a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2);
# b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);
# c é o coeficiente do termo independente.
Na equação - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:
a = - 34
b = 28
c = - 32
Mas e na equação 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?
Como se viu acima, é possível reduzir a equação à sua forma geral:
Subtraindo 32 de ambos os lados:
10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32
10x - 3x2 - 32 = 15x2.
Subtraindo 15x2 em ambos os termos:
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2
10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0
Somando-se os termos em comum:
10x - 32 - 18x2 = 0
Colocando em ordem de maior para o menor expoente:
- 18x2 + 10x - 32 = 0
Agora fica fácil de determinar os coeficientes:
a = -18
b= +10
c = -32
Fórmula geral de resolução de equações de 2° grau
reprodução
Acima você tem a fórmula de bhaskara, utilizada para resolver as equações de 2º grau. Veja como se chegou até essa fórmla, partindo da fórmula geral das equações de 2º grau:
ax2 + bx + c = 0
com a diferente de zero;
Multiplicando ambos os membros por 4a:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;
Somando b2 em ambos os membros:
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;
Reagrupando:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
O primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac
Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()
: (2ax + b) =
Isolando a incógnita x
2ax = -b
Como desde o início a é diferente de zero, essa fórmula nunca será dividida por zero. Ela é conhecida como fórmula de Bhaskara.
sábado, 26 de fevereiro de 2011
Multiplicação de numeros inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.
Quando realizamos a multiplicação:
5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.
(+5) * (– 2)
(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)
– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)
(+5) * (– 2) = –10
O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).
Produto de dois números inteiros com sinais iguais.
Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.
Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40
Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).
Elemento Neutro
O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.
Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9
A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:
( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.
Quando realizamos a multiplicação:
5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.
(+5) * (– 2)
(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)
– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)
(+5) * (– 2) = –10
O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).
Produto de dois números inteiros com sinais iguais.
Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.
Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40
Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).
Elemento Neutro
O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.
Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9
A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:
( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )
O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.
Quando realizamos a multiplicação:
5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.
(+5) * (– 2)
(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)
– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)
(+5) * (– 2) = –10
O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).
Produto de dois números inteiros com sinais iguais.
Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.
Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40
Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).
Elemento Neutro
O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.
Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9
A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:
( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.
Quando realizamos a multiplicação:
5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.
(+5) * (– 2)
(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)
– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)
(+5) * (– 2) = –10
O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).
Produto de dois números inteiros com sinais iguais.
Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.
Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40
Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).
Elemento Neutro
O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.
Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9
A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:
( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
domingo, 15 de agosto de 2010
Máximo Divisor Comum
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
• CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
• PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
• CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
• PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
quarta-feira, 28 de julho de 2010
Um ótimo recomeço!
Não importa onde você parou...Em que momento da vida você cansou...
O que importa é que sempre é possível e necessário "Recomeçar".
Recomeçar é dar uma nova chance a sí mesmo...
é renovar as esperanças na vida.
E o mais importante, acreditar em você de novo...
Sofreu muito nesse período? Foi aprendizado.
Chorou muito? Foi limpeza da alma.
Ficou com raíva das pessoas? Foi para perdoá-las um dia.
Tem tanta gente esperando apenas um sorriso seu para "chegar" perto de você.
Recomeçar...Hoje é um bom dia para recomeçar novos desafios.
Onde vc quer chegar? Ir alto? ...sonhe alto...
Queira o melhor do melhor... pensando assim trazemos pra nós aquilo que desejamos.
Se pensarmos pequeno coisas pequenas teremos...
Se desejarmos fortemente o melhor e principalmente lutarmos pelo melhor, o melhor vai se instalar em nossa vida.
TENHA UM ÓTIMO RECOMEÇO
segunda-feira, 24 de maio de 2010
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